Equações de Navier-Stokes (Parte 2) - Forças em Elementos Fluidos

Nesta segunda parte sobre as equações de Navier-Stokes, daremos continuidade ao que vimos anteriormente, focando nas forças que atuam em elementos fluídos.

Forças que Agem em Elementos Fluídos

Anteriormente discutimos a aplicação da segunda lei de Newton para um elemento fluido cúbico, onde identificamos a massa e a aceleração da partícula fluida. Aqui, vamos encontrar as expressões para as forças resultantes que agem sobre essa partícula.

Tipos de Forças

Vamos iniciar descrevendo os tipos de forças que podem atuar na superfície de um elemento fluido:

• Forças de Compressão Perpendiculares: Essas forças atuam perpendicularmente à superfície e podem ser descritas pela tensão normal ($\sigma$), definida como a razão entre a força aplicada sobre a superfície e a área da superfície.

  $$F = \sigma A$$

• Forças Tangenciais: Forças tangenciais atuam paralelamente à superfície e são descritas pela tensão de cisalhamento ($\tau$).

  $$F_{tang} = \tau A$$

• Forças de Campo (Gravidade): Além das forças superficiais, as forças de campo, como a gravidade, podem atuar sobre o elemento fluido. A força gravitacional é descrita por:

  $$F_{grav} = \rho V g$$

  Onde $\rho$ é a densidade do fluido, $V$ é o volume do elemento e $g$ é a aceleração gravitacional.

Tensões em Diferentes Direções

Vamos considerar as tensões que agem nas diferentes faces do elemento cúbico, que tem dimensões $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta z$:

• Tensões Normais:

  • Face perpendicular ao eixo $x$: $\sigma_{xx}$.
  • Face perpendicular ao eixo $y$: $\sigma_{yy}$.
  • Face perpendicular ao eixo $z$: $\sigma_{zz}$.

• Tensões de Cisalhamento:

  • Face perpendicular ao eixo $x$, direção $y$: $\tau_{xy}$.
  • Face perpendicular ao eixo $y$, direção $x$: $\tau_{yx}$.
  • Tensões em outras combinações de direções podem ser descritas de forma similar.

As forças resultantes nas direções $x$, $y$ e $z$ podem ser determinadas pela diferença entre as tensões atuantes nas faces opostas do cubo.

Equações Diferenciais da Quantidade de Movimento

Após calcular todas as forças que agem nas direções $x$, $y$ e $z$, podemos substituir esses valores na equação de movimento deduzida na parte 1:

Substituindo as expressões para as forças normais e de cisalhamento, obtemos:

• Para a componente $x$:

  $$\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} = \rho \frac{Du}{Dt}$$

• Para a componente $y$:

  $$\frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} = \rho \frac{Dv}{Dt}$$

• Para a componente $z$:

  $$\frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} = \rho \frac{Dw}{Dt}$$

Próximos Passos

Com essas três equações diferenciais, já estamos muito próximos das equações de Navier-Stokes completas. Na próxima parte, veremos como lidar com as tensões normais e tangenciais para finalmente chegar à formulação completa.

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