Equação de Navier-Stokes (Parte 1) - Derivadas Materiais

Bem-vindos a mais uma série de aulas, baseadas no conteúdo do nosso canal Bloom Consultoria. Nesta série, exploraremos as origens e aplicações das equações de Navier-Stokes, que são fundamentais para a modelagem de sistemas fluidos.

Introdução às Equações de Navier-Stokes

As equações de Navier-Stokes são, essencialmente, balanços diferenciais da quantidade de movimento. Em termos simples, essas equações asseguram que a segunda lei de Newton seja válida em cada ponto de um escoamento fluido. São especialmente úteis para modelar como as forças e pressões se distribuem em um fluido em movimento.

Aplicações das Equações de Navier-Stokes

Golpe de Aríete: Fenômeno comum em sistemas hidráulicos, o golpe de aríete ocorre quando há uma mudança súbita no fluxo, como o desligamento de uma bomba ou o fechamento de uma válvula. Usando as equações de Navier-Stokes, podemos prever variações de pressão que podem danificar a tubulação.
Propagação de Cheias em Rios: As equações ajudam a prever como uma cheia pode se propagar, auxiliando na construção de infraestruturas seguras, como casas e estradas próximas a rios, para evitar inundações.

Além disso, as equações de Navier-Stokes são a base para muitas simulações em fluidodinâmica computacional (CFD), que é amplamente usada na engenharia e na pesquisa científica.

Revisão de Conceitos Fundamentais

Para entender a origem das equações de Navier-Stokes, é importante revisarmos alguns conceitos de física e mecânica dos fluidos.

Quantidade de Movimento e Segunda Lei de Newton

Considere uma partícula com massa $ m $ e velocidade representada por um vetor. A quantidade de movimento, ou momento linear, dessa partícula é dada por:

$$ p = mv $$

onde $ p $ representa a quantidade de movimento.

A segunda lei de Newton estabelece que a força resultante que atua sobre essa partícula é a derivada da quantidade de movimento em relação ao tempo:

$$ F = \frac{dp}{dt} $$

Se assumirmos que a massa da partícula permanece constante, podemos reformular essa equação para a forma mais conhecida:

$$ F = m\frac{dv}{dt} $$

Aqui, $ \frac{dv}{dt} $ é a aceleração da partícula. Portanto, a expressão clássica da segunda lei de Newton é:

$$ F = ma $$

Campo de Velocidade e Derivadas Materiais

A segunda lei de Newton aplica-se a partículas individuais, mas em um escoamento fluido, lidamos com um grande número de partículas simultaneamente. Portanto, precisamos adaptar a lei para um campo contínuo.

Imagine um gráfico representando o campo de velocidade de um escoamento. Em cada ponto $ (x, y) $, a velocidade é dada pela tangente à curva naquele ponto, conforme indicado por um vetor de velocidade. Essa velocidade é uma função das coordenadas $ x $, $ y $ e do tempo $ t $:

$$ v = v(x, y, t) $$

À medida que o tempo avança, uma partícula de fluido se desloca, mudando sua posição e, consequentemente, sua velocidade. Assim, o tempo influencia a velocidade de duas maneiras:

Mudança de Posição: O movimento da partícula altera suas coordenadas $ x $ e $ y $, afetando sua velocidade.
Variação Temporal do Campo de Velocidade: O próprio campo de velocidades pode mudar ao longo do tempo.

Derivada Material

Para considerar esses efeitos, usamos a derivada total ou derivada material, que leva em conta a variação da velocidade em relação a todas as variáveis envolvidas:

$$ \frac{Dv}{Dt} = \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} $$

Esta expressão pode ser escrita de forma mais compacta usando notação vetorial:

$$ \frac{Dv}{Dt} = \frac{\partial v}{\partial t} + \vec{u} \cdot \nabla v $$

onde $ \vec{u} = (u, v) $ é o vetor velocidade e $ \nabla v $ é o gradiente da velocidade.

Essa expressão nos fornece a taxa de variação da velocidade de uma partícula de fluido, considerando o escoamento como um todo. Em fluidodinâmica, essa aceleração é conhecida como derivada material, pois considera o movimento do "elemento material" do fluido.

Aplicando a Segunda Lei de Newton a Fluidos

Agora que sabemos como calcular a aceleração de cada partícula usando o campo de velocidades, vamos aplicar a segunda lei de Newton a um pequeno volume de fluido.

Considerando uma Partícula Fluida Cúbica

Suponha uma partícula fluida cúbica tridimensional muito pequena, com dimensões $ \Delta x $, $ \Delta y $ e $ \Delta z $. Usando a segunda lei de Newton, substituímos a aceleração pela derivada material calculada:

$$ F = \rho \Delta x \Delta y \Delta z \frac{Dv}{Dt} $$

onde $ \rho $ é a densidade do fluido.

Próximos Passos

Agora precisamos determinar a força resultante que atua sobre essa partícula. Essa análise será o tema da próxima parte desta série.

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